Persamaan Kontinuitas

Sebelum kita belajar tentang persamaan kontinuitas, gurumuda ingin mengajak dirimu untuk bermain dengan air. Hehe… di rumah punya kran air khan ? kalau tidak punya, bisa pinjam punya tetangga. Bilang saja, pak/bu, pinjam kran airnya ya, sebentar saja.. pliss… demi kemajuan ilmu fisika. Terus merenggek saja gpp, nanti juga diberi coba dirimu buka kran air perlahan-lahan sambil memperhatikan laju air yang keluar dari mulut kran. Setelah kran tidak bisa diputar lagi, sumbat sebagian mulut kran dengan tanganmu. Sekarang bandingkan, manakah laju aliran air yang lebih besar. Ketika sebagian mulut kran disumbat atau tidak disumbat ? kalau dirimu punya slang yang biasa dipakai untuk menyiram bunga, coba alirkan air melalui slang tersebut. Nah, silahkan tutup sebagian mulut selang dengan tangan atau jarimu. Semakin banyak bagian mulut selang yang ditutup, semakin deras air menyembur keluar (laju aliran air makin besar). Sebaliknya, jika mulut slang tidak ditutup, aliran air menjadi seperti semula (kurang deras). Aneh khan ? mengapa bisa demikian ? agar bisa memahami “keanehan” ini, silahkan pelajari pokok bahasan ini dengan penuh semangat. Setelah mempelajari persamaan kontinuitas, dirimu bisa menjelaskannya dengan mudah…

Garis Arus dan Tabung Alir

Sebelum melangkah lebih jauh, terlebih dahulu kita pahami konsep Garis Alir, Garis Arus dan Tabung Alir. Konsep ini penting, karena akan membantu dirimu untuk memahami persamaan kontinuitas.

Garis Arus (stream line)

Selain Garis Alir, ada juga namanya Garis Arus. Untuk memudahkan pemahamanmu, gurumuda menggunakan gambar. Perhatikan gambar di bawah. Garis yang berwarna biru merupakan Garis Arus.

Pada aliran tunak, kecepatan setiap partikel fluida di suatu titik, katakanlah titik A (lihat gambar) selalu sama. Ketika melewati titik B, kecepatan partikel fluida mungkin berubah. Walaupun demikian, ketika tiba di titik B, partikel fluida yang nyusul dari belakang mengalir dengan kecepatan yang sama seperti partikel fluida yang mendahuluinya. Demikian juga ketika tiba di titik C dan seterusnya. Nah, garis Arus itu merupakan kurva yang menghubungkan titik A,B dan C (catatan : ingat ya, kecepatan itu beda dengan kelajuan. Kecepatan punya arah)

Tabung Alir (flow tube)

Istilah makin aneh saja. Ada Garis lah, ada tabung lah… hehe…. Tabung Alir tuh maksudnya apa ? silahkan perhatikan gambar di bawah…

Pada dasarnya kita bisa menggambarkan setiap garis arus melalui tiap-tiap titik dalam aliran fluida tersebut. Jika kita menggangap aliran fluida tunak, sejumlah garis arus yang melewati sudut tertentu pada luas permukaan imajiner (luas permukaan khayalan) membentuk suatu tabung aliran. Tidak ada partikel fluida yang saling berpotongan tapi selalu sejajar dan tabung aliran tersebut akan menyerupai sebuah pipa yang bentuknya selalu sama. Fluida yang masuk pada salah satu ujung tabung akan keluar dari tabung tersebut di ujung lainnya.

Debit

Dalam kehidupan sehari-hari orang sering menggunakan istilah “Debit”. Btw, Debit itu sebenarnya apa ?

Debit itu menyatakan volume suatu fluida yang mengalir melalui penampang tertentu dalam selang waktu tertentu. Secara matematis, bisa dinyatakan sebagai berikut :

Untuk menambah pemahamanmu, kita gunakan contoh. Misalnya fluida mengalir melalui sebuah pipa. Pipa biasanya berbentuk silinder dan memiliki luas penampang tertentu. Pipa tersebut juga punya panjang (Lihat gambar di bawah).

Ketika fluida mengalir dalam pipa tersebut sejauh L, misalnya, maka volume fluida yang ada dalam pipa adalah V = AL (V = volume fluida, A = luas penampang dan L = panjang pipa). Karena selama mengalir dalam pipa sepanjang L fluida menempuh selang waktu tertentu, maka kita bisa mengatakan bahwa besarnya debit fluida :

Dengan demikian, ketika fluida mengalir melalui suatu pipa yang memiliki luas penampang dan panjang tertentu selama selang waktu tertentu, maka besarnya debit fluida (Q) tersebut sama dengan luas permukaan penampang (A) dikalikan dengan laju  aliran fluida (v). Dipahami perlahan-lahan ya… Jika bingung berlanjut, silahkan hubungi dokter terdekat Pemahaman akan konsep debit ini sangat penting karena akan membantu dirimu memahami dengan baik persamaan kontinuitas.

Persamaan Kontinutitas

Penjelasan sebelumnya yang bertele-tele tersebut hanya mau mengantar dirimu untuk mempelajari persamaan kontinuitas, inti dari tulisan ini. Sekarang, mari kita tinjau aliran fluida pada sebuah pipa yang mempunyai diameter berbeda, seperti tampak pada gambar di bawah.

Gambar ini menujukan aliran fluida dari kiri ke kanan (fluida mengalir dari pipa yang diameternya besar menuju diameter yang kecil). Garis putus-putus merupakan garis arus.

Keterangan gambar : A₁ = luas penampang bagian pipa yang berdiameter besar, A₂ = luas penampang bagian pipa yang berdiameter kecil, v₁ = laju aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter besar, v₂ = laju aliran fluida pada bagian pipa yang berdiameter kecil, L = jarak tempuh fluida.

Pada pengantar fluida dinamis, gurumuda telah menjelaskan bahwa dalam fluida dinamis, kita membahas aliran fluida yang tak termampatkan, tak kental, tak berolak dan tunak. Sebaiknya dibaca terlebih dahulu penjelasan sebelumnya, biar lebih nyambung. Lanjut ya…

Pada aliran tunak, kecepatan aliran partikel fluida di suatu titik sama dengan kecepatan aliran partikel fluida lain yang melewati titik itu. Aliran fluida juga tidak saling berpotongan (garis arusnya sejajar). Karenanya massa fluida yang masuk ke salah satu ujung pipa harus sama dengan massa fluida yang keluar di ujung lainnya. Jika fluida memiliki massa tertentu masuk pada pipa yang diameternya besar, maka fluida tersebut akan keluar pada pipa yang diameternya kecil dengan massa yang tetap. Waduh, bingung-kah ? dipahami perlahan-lahan ya…

Sekarang, mari kita perhatikan gambar pipa di atas. Kita tinjau bagian pipa yang diameternya besar dan bagian pipa yang diameternya kecil.

Selama selang waktu tertentu, sejumlah fluida mengalir melalui bagian pipa yang diameternya besar (A₁) sejauh L₁ (L₁ = v₁t). Volume fluida yang mengalir adalah V₁ = A₁L₁ = A₁v₁t. Nah, Selama selang waktu yang sama, sejumlah fluida yang lain mengalir melalui bagian pipa yang diameternya kecil (A₂) sejauh L₂ (L₂ = v₂t). Volume fluida yang mengalir adalah V₂ = A₂L₂ = A₂v₂t. (sambil lihat gambar di atas).

Persamaan Kontinuitas untuk Fluida Tak-termampatkan (incompressible)

Pertama-tama mari kita tinjau kasus untuk Fluida Tak-termampatkan. Pada fluida tak-termampatkan (incompressible), kerapatan alias massa jenis fluida tersebut selalu sama di setiap titik yang dilaluinya.

Massa fluida yang mengalir dalam pipa yang memiliki luas penampang A₁ (diameter pipa yang besar) selama selang waktu tertentu adalah :

Demikian juga, massa fluida yang mengalir dalam pipa yang memiliki luas penampang A₂ (diameter pipa yang kecil) selama selang waktu tertentu adalah :

Mengingat bahwa dalam aliran tunak, massa fluida yang masuk sama dengan massa fluida yang keluar, maka :

Catatan : massa jenis fluida dan selang waktu sama sehingga dilenyapkan.

Jadi, pada fluida tak-termampatkan, berlaku persamaan kontinuitas :

A₁v₁ = A₂v₂ — Persamaan 1

Di mana A₁ = luas penampang 1, A₂ = luas penampang 2, v₁ = laju aliran fluida pada penampang 1, v₂ = laju aliran fluida pada penampang 2. Av adalah laju aliran volume V/t alias debit (sudah gurumuda jelaskan di atas)

Persamaan 1 menunjukkan bahwa laju aliran volume alias debit selalu sama pada setiap titik sepanjang pipa/tabung aliran. Ketika penampang pipa mengecil, maka laju aliran fluida meningkat (fluida kebut2an), sebaliknya ketika penampang pipa menjadi besar, laju aliran fluida menjadi kecil. Agar dirimu semakin paham, silahkan obok-obok persamaan 1 dengan memasukan angka tertentu.

Pada bagian pengantar tulisan ini, gurumuda mengajak dirimu untuk bermain dengan air. Ketika sebagian mulut kran kita sumbat, aliran air menjadi lebih deras dibandingkan ketika sebagian mulut kran tidak kita tutup. Hal itu disebabkan karena luas penampang kran menjadi kecil ketika sebagian mulut kran kita tutup, sehingga laju aliran air bertambah (fluida mengalir deras). Demikian juga pada kasus slang. Tapi perlu dirimu ketahui bahwa debit alias laju aliran volume selalu sama pada setiap tempat sepanjang aliran air, baik ketika sebagian mulut kran kita tutup maupun tidak. Jadi yang berubah adalah laju aliran fluida tersebut. Ssttt… laju aliran volume tuh maksudnya jumlah volume fluida yang mengalir dalam satu satuan waktu. Jangan pake bingung ya

Lalu bagaimana dengan kasus aliran air di sungai ? Bagian sungai yang dalam memiliki penampang yang lebih besar dibandingkan dengan bagian sungai yang dangkal, sehingga laju aliran air pada bagian sungai yang dalam lebih kecil dari pada laju aliran air pada bagian sungai yang dangkal. Kalau dirimu melihat aliran air sungai sangat tenang, itu artinya bagian sungai itu dalam. Tapi kalau tiba-tiba aliran air sungai menjadi deras, maka bagian sungai itu pasti dangkal. Walaupun demikian, laju aliran volume air selalu sama, baik pada bagian dalam maupun pada bagian sungai yang tenang.

Persamaan Kontinuitas untuk Fluida Termampatkan (compressible)

Untuk kasus fluida yang termampatkan alias compressible, massa jenis fluida tidak selalu sama. Dengan kata lain, massa jenis fluida berubah ketika dimampatkan. Kalau pada fluida Tak-termampatkan massa jenis fluida tersebut kita lenyapkan dari persamaan, maka pada kasus ini massa jenis fluida tetap disertakan. Dengan berpedoman pada persamaan yang telah diturunkan sebelumnya, mari kita turunkan persamaan untuk fluida termampatkan.

Mengingat bahwa dalam aliran tunak, massa fluida yang masuk sama dengan massa fluida yang keluar, maka :

Ini adalah persamaan untuk kasus fluida termampatkan. Bedanya hanya terletak pada massa jenis fluida. Apabila fluida termampatkan, maka massa jenisnya berubah. Sebaliknya, apabila fluida tak termampatkan, massa jenisnya selalu sama sehingga bisa kita lenyapkan. Untuk lebih memahami hubungan antara massa jenis dan fluida termampatkan/tak-termampatkan, silahkan pelajari pembahasan mengenai Tekanan Pada Fluida (Fluida Statis).

Sekian pelajaran kita kali ini, mohon maaf lahir batin jika dirimu mual-mual atau pusing-pusing tarik napas panjang seribu kali dan bersiap-siaplah melanjutkan perjalanan kita menuju pembahasan berikutnya

Referensi

Giancoli, Douglas C., 2001, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga

Halliday dan Resnick, 1991, Fisika Jilid I, Terjemahan, Jakarta : Penerbit Erlangga

Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik-Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penebit Erlangga

Young, Hugh D. & Freedman, Roger A., 2002, Fisika Universitas (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga